Question

19．設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x²-2ax-2alnx
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)，試求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出a=1時(shí)f（x），利用導(dǎo)數(shù)f′（x）判斷f（x）的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，求出最值，利用最值等于0，求出a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2ax-2alnx，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-2x-2lnx，（其中x＞0）；
∴f′（x）=2x-2-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x-2}{x}$，
令f′（x）=0，即x²-x-1=0，
解得x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（小于0，應(yīng)舍去）；
∴x∈（0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，
x∈（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），
單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）；
（2）f（x）=x²-2ax-2alnx，
則f′（x）=2x-2a-$\frac{2a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2ax-2a}{x}$，
令f′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，
∴△=a²+4a＞0，
∴方程是解為x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$＜0，
x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$＞0；
∴函數(shù)f（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的大致圖象如圖所示，
求f（x）_min=f（x₂），
若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)，
則f（x₂）=0，
而x₂滿足x₂²=ax₂+a
∴f（x₂）=ax₂+a-2ax₂-2alnx₂=a（x₂+1-2x₂-2lnx₂）=0
得1-x₂-2lnx₂=0
∵g（x）=2lnx+x-1是單調(diào)增的，∴g（x）至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
而g（1）=0，
∴用x₂=1代入x₂²-ax₂-a=0，
得1-a-a=0，即得a=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，也考查了函數(shù)零點(diǎn)以及不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目．