Question

7．已知O為△ABC的外心，若AC=1，$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且x+2y=1，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，再由已知向量等式求出$\overrightarrow{AB}$，代入$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$展開，結合向量在向量方向上投影的概念求解．

解答 解：如圖，

由$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，得$x\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}-y\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}=\frac{\overrightarrow{AO}-y\overrightarrow{AC}}{x}$，
則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{x}（\overrightarrow{AO}-y\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{x}\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}-\frac{y}{x}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$
=$\frac{1}{x}（\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}-y|\overrightarrow{AC}{|}^{2}）=\frac{1}{x}（\frac{1}{2}-y）=\frac{1-2y}{2x}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量在向量方向上投影的概念，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．