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12.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒為0,
(1)求f(1)和f(-1)的值;
(2)試判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;
(3)若x≥0時(shí)f(x)為增函數(shù),求滿足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x取值集合.

分析 (1)利用賦值法即可求f(1)、f(-1)的值;
(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f(x)是偶函數(shù);
(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

解答 解:(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),
∴f(1)=0,
令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,
∴f(-1)=0,
(2)令y=-1,則f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),
∴f(-x)=f(x)
∴f(x)是偶函數(shù).
(3)由式f(x+1)-f(2-x)≤0得式f(x+1)≤f(2-x),
由(2)函數(shù)是偶函數(shù),
則不等式等價(jià)為f(|x+1|)≤f(|2-x|),
∵x≥0時(shí)f(x)為增函數(shù),
∴不等式等價(jià)為|x+1|≤|2-x|,
平方得x2+2x+1≤x2-4x+4,
即6x≤3,即x≤12,
即滿足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x取值集合為(-∞,12].

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及不等式的求解,根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系,利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

2.已知銳角三角形△ABC的面積為32,且b=2,c=3,則∠A=\frac{π}{3}

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3.設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10=1023.

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20.如圖,在Rt△ABC中,E為BC邊上一點(diǎn),且\overrightarrow{EB}=3\overrightarrow{CE},若向量\overrightarrow{AE}利用\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}表示,則\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}

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7.“函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}(a-1)x+2,x>2\\{a^x},x≤2\end{array}在R上是單調(diào)遞增函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=log2(x2-ax+1)在[1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)”的既不充分也不必要條件(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”).

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17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4,經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)的直線l的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.(t為參數(shù)).
(1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程;
(2)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}的值.

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4.若曲線ρ2-2aρcosθ-2aρsinθ+2a2-4=0上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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1.平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓M:(x-2)2+y2=1,曲線C的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.(α為參數(shù)).在以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=\frac{π}{6}(ρ∈R).
(1)求圓M的極坐標(biāo)方程及曲線C的普通方程;
(2)設(shè)l與圓M相切于點(diǎn)A,且在第三象限內(nèi)與C交于點(diǎn)N,求△AMN的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.已知函數(shù)f(x)=asin2x+bcos2x(a,b∈R)的圖象過點(diǎn)(\frac{π}{12},2),且點(diǎn)(-\frac{π}{6},0)是其對(duì)稱中心,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移\frac{π}{6}個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為( �。�
A.g(x)=2sin2xB.g(x)=2cos2xC.g(x)=2sin(2x+\frac{π}{6}D.g(x)=2sin(2x-\frac{π}{6}

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