Question

5．已知定點A（-4，0）及橢圓C：x²+3y²=6，直線MN經(jīng)過橢圓C的右焦點，當M、N在橢圓C上運動時，△MNA的面積的最大值為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設直線MN方程為：x=my+2，由 $\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$得（m²+3）y²+4my-2=0，可得△MNA的面積s=$\frac{1}{2}×AF×$|y₁-y₂|=3$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{6\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+3}=\frac{6\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+1+2}$=$\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$$≤\frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=3\sqrt{3}$

解答 解：∵橢圓C：x²+3y²=6的右焦點為（2，0），故設直線MN方程為：x=my+2，
由 $\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$得（m²+3）y²+4my-2=0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-4m}{{m}^{2}+3}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-2}{{m}^{2}+3}$，
，△MNA的面積s=$\frac{1}{2}×AF×$|y₁-y₂|=3$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{6\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+3}=\frac{6\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+1+2}$=$\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$$≤\frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=3\sqrt{3}$，
當m=±1時，△MNA的面積的有最大值為3$\sqrt{3}$，
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓與直線的位置關系，三角形面積計算，屬于中檔題．