已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點(diǎn)間距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x).
1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
2)證明:當(dāng)a>3時,函數(shù)g(x)=f(x)-f(a)有三個零點(diǎn).
解:(1)由已知,設(shè)f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,∴f1(x)=x2. 設(shè)f2(x)= A( 由 (2)證法一:f(x)=f(a),得x2+ 即 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)= 因此,f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個交點(diǎn), 即f(x)=f(a)有一個負(fù)數(shù)解. 又∵f2(2)=4,f3(2)=-4+a2+ 當(dāng)a>3時.f3(2)-f2(2)=a2+ ∴當(dāng)a>3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f(2))在f2(x)圖象的上方. ∴f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點(diǎn),即f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解. 因此,方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.即函數(shù)g(x)有三個零點(diǎn). 證法二:由f(x)=f(a),得x2+ 方程x+a- ∵x2<0,x3>0,∴x1≠x2,且x2≠x3.若x1=x3,即a= 故原方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.即函數(shù)g(x)有三個零點(diǎn). |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:中學(xué)教材全解 高中數(shù)學(xué) 必修1(人教A版) 人教A版 題型:044
已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點(diǎn)間距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)證明:當(dāng)a>3時,關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:高考總復(fù)習(xí)全解 數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)·必修課程 (人教實驗版) B版 人教實驗版 B版 題型:044
已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點(diǎn)間距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)證明:當(dāng)a>3時,關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:101網(wǎng)校同步練習(xí) 高二數(shù)學(xué) 人教社(新課標(biāo)B 2004年初審?fù)ㄟ^) 人教實驗版 題型:044
已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點(diǎn)間的距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x)
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)求證:當(dāng)a>3時,關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個不相等的實數(shù)解
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