Question

20．已知f（x）=|ax-1|（a∈R），不等式f（x）≤2的解集是{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$}．
（1）求a的值；
（2）解不等式f（x）+f（$\frac{x}{2}$-1）≥5．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|ax-1|≤2，即有-1≤ax≤3，由已知不等式的解集可得a=2；
（2）原不等式即為|2x-1|+|x-3|≥5，討論當(dāng)x≥3時(shí)，當(dāng)x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜3時(shí)，去掉絕對(duì)值，解不等式求并集即可得到所求解集．

解答 解：（1）不等式f（x）≤2的解集是{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$}，
即為|ax-1|≤2，即有-1≤ax≤3，
則a＞0，且a=2；
（2）f（x）+f（$\frac{x}{2}$-1）≥5，
即為|2x-1|+|x-3|≥5，
當(dāng)x≥3時(shí)，2x-1+x-3≥5，即為3x≥9，可得x≥3；
當(dāng)x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，1-2x+3-x≥5，即為-3x≥1，可得x≤-$\frac{1}{3}$；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜3時(shí)，2x-1+3-x≥5，即為x≥3，可得x∈∅．
綜上可得，x≥3或x≤-$\frac{1}{3}$．
即解集為{x|x≥3或x≤-$\frac{1}{3}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意運(yùn)用絕對(duì)值的含義和零點(diǎn)分區(qū)間，考查不等式的解法，以及運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．