Question

9．已知等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，其前n項和為S_n，若直線y=a₁x+m與在y軸上的截距為1的直線x+2y-d=0垂直，則數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100項的和為$\frac{100}{101}$．

Answer 1

分析 直線y=a₁x+m與在y軸上的截距為1的直線x+2y-d=0垂直，可得${a}_{1}×（-\frac{1}{2}）$=-1，$\fracafnzelt{2}$=1，解得a₁，d．再利用等差數(shù)列的前n項和公式與“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵直線y=a₁x+m與在y軸上的截距為1的直線x+2y-d=0垂直，
∴${a}_{1}×（-\frac{1}{2}）$=-1，$\fraczgoxins{2}$=1，
解得a₁=2，d=2．
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100項的和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$
=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．
故答案為：$\frac{100}{101}$．

點評 本題考查了“裂項求和方法”、等差數(shù)列通項公式及其求和公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．