Question

已知函數，其中a、b∈R，g（x）=e^x（e是自然對數的底）．
（1）當b＜a＜1，f（1）=0，且函數y=2f（x）+1的零點，證明：；
（2）當b=1時，若不等式f（x）≤g（x）在恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（1）=0，結合b＜a＜1，我們可以構造關于b的不等式①，再由函數y=2f（x）+1的零點，即x²+2ax+2b+1=0有實根，根據△≥0，我們可以構造關于b的不等式②，解不等式組即可得到b的范圍．
（2）由不等式f（x）≤g（x）在恒成立，我們可以得到在恒成立，即在上，a值小于等于函數的最小值，利用導數法求出函數的最值后，即可得到a的取值范圍．
解答：解：（I）由f（1）=0，得a=-
又b＜a＜1，
∴b＜-＜1，
解得-＜b＜-①
且函數y=2f（x）+1的零點，即x²+2ax+2b+1=0有實根
∴△=4a²-4（2b+1）≥0
將a=-代入化簡得：4b²-4b-3≥0
解得b≤-或b≥②
由①②得-＜b≤-．

（II）當b=1時，，由式f（x）≤g（x），
得在恒成立，
即在恒成立，
令，則
令，則h'（x）=x（e^x-1）
∵
∴h′（x）＞0
即h（x）在上單調遞增
∴h（x）≥h（）=-＞0
∴g'（x）＞0
∴g（x）在單調遞增
則g（x）≥g（）==2-
故a≤2-
點評：本題考查的知識點是函數零點的判定定理，函數恒成立問題，利用導數求閉區(qū)間上的函數最值，（1）中根據已知條件構造構造關于b的不等式組是證明的關鍵；（2）中將不等式f（x）≤g（x）在恒成立，轉化為函數恒成立問題是解答的關鍵．