Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=8{tan^2}θ\\ y=8tanθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$）．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=-4\sqrt{2}$．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若P為曲線C上一點(diǎn)，Q為l上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直線l的方程轉(zhuǎn)化為$ρcosθcos\frac{π}{4}$+$ρsinθsin\frac{π}{4}$=-4$\sqrt{2}$，由此能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）點(diǎn)P（8tan²θ，8tanθ）到直線l的距離d=$\frac{|8ta{n}^{2}θ+8tanθ+8|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$（tan$θ+\frac{1}{2}$）²+3$\sqrt{2}$，由此能求出當(dāng)tanθ=-$\frac{1}{2}$時(shí)，|PQ|取得最小值．

解答 解：（1）∵直線l的方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=-4\sqrt{2}$．
即$ρcosθcos\frac{π}{4}$+$ρsinθsin\frac{π}{4}$=-4$\sqrt{2}$，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為$\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=-4\sqrt{3}$，即x+y+8=0．
（2）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=8{tan^2}θ\\ y=8tanθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$）．
P為曲線C上一點(diǎn)，Q為l上一點(diǎn)，
∴點(diǎn)P（8tan²θ，8tanθ）到直線l的距離：
d=$\frac{|8ta{n}^{2}θ+8tanθ+8|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$|（tanθ+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$|=4$\sqrt{2}$（tan$θ+\frac{1}{2}$）²+3$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)tanθ=-$\frac{1}{2}$時(shí)，|PQ|取得最小值3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段長(zhǎng)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．