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5.如圖,已知點(diǎn)C是以AB為直徑的圓O上一點(diǎn),CG垂直于AB,垂足為G,過(guò)B點(diǎn)做圓O的切線,交直線AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是CG的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)F,求證:
(1)AE•DF=CE•AF;
(2)CF是圓O的切線.

分析 (1)證明△ACE∽△ADF,即可證明AE•DF=CE•AF;
(2)證明∠FCB+∠OCB=90°,即可證明CF是圓O的切線.

解答 證明:(1)由題知DB⊥AB,CG⊥AB,∴CG∥BD,△ACE∽△ADF,
AEAF=CEDF,即AE•DF=CE•AF…(5分)
(2)連接OC和CB,由(1)知AEAF=CEDF=EGFB,又CE=EG,所以DF=FB,…(7分)
在RT△DCB中,F(xiàn)為BD中點(diǎn),F(xiàn)C=FB,
所以∠FCB=∠FBC,
又∠OCB=∠OBC,∠FBC+∠OBC=90°,所以∠FCB+∠OCB=90°,
即CF是圓O的切線…(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定,考查圓的切線的證明,屬于中檔題.

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