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10.已知0xπ2fx=1sinx+sinx+91sinx的最小值為210+10.

分析 化簡函數(shù)f(x)=1sinx+sinx+91sinx=…=1sinxsinx+10sinx1sinx+10,利用基本不等式求出f(x)的最小值.

解答 解:當(dāng)0<x<π2時(shí),0<sinx<1;
所以f(x)=1sinx+sinx+91sinx
=1sinx+sinx1+101sinx
=1sinx+101sinx-1
=(1sinx+101sinx)(1-sinx+sinx)-1
=1sinx+sinxsinx+101sinx+sinx1sinx-1
=1sinxsinx+10sinx1sinx+10
≥21sinx10sinxsinx1sinx+10
=210+10,
當(dāng)且僅當(dāng)1sinxsinx=10sinx1sinx,
即sinx=1111時(shí)取“=”;
所以函數(shù)f(x)的最小值為210+10.
故答案為:210+10.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡與基本不等式的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

練習(xí)冊系列答案
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