Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是邊長為2的等邊三角形，$PC=\sqrt{13}$，點M是PC的中點．
（I）求證：PA∥平面MBD；
（II）求四面體P-BDM的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BD于O，則O為AC的中點，連接MO，由三角形中位線定理可得PA∥MO，再由線面平行的判定可得PA∥平面MBD；
（Ⅱ）取AD中點H，連接PH，則PH⊥AD，由面面垂直的性質(zhì)可得PH⊥平面ABCD．然后利用等積法求得四面體P-BDM的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC交BD于O，則O為AC的中點，連接MO，
∵M為PC的中點，O為AC的中點，
∴PA∥MO，
又MO?平面MBD，PA?平面MBD，
∴PA∥平面MBD；
（Ⅱ）解：取AD中點H，連接PH，則PH⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，AD為交線，
∴PH⊥平面ABCD．
在直角三角形PHC中，HC=$\sqrt{P{C}^{2}-P{H}^{2}}=\sqrt{10}$．
∴DC=$\sqrt{H{C}^{2}-H{D}^{2}}=3$．
又∵V_P-BDM=V_P-BDC-V_M-BDC=$\frac{1}{2}{V}_{P-BDC}$，
∴${V}_{P-BDM}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}|PH|×{S}_{△BDC}=\frac{\sqrt{3}}{6}×\frac{1}{2}×2×3=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．