Question

15．已知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，直線(xiàn)l：y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)C、D，若C、D兩點(diǎn)在以點(diǎn)A（0，-1）為圓心的同一個(gè)圓上，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $\{m|-\frac{1}{4}＜m＜0\}$
• B． {m|m＞4}
• C． {m|0＜m＜4}
• D． $\{m|-\frac{1}{4}＜m＜0或m＞4\}$

Answer 1

分析 M（x₁，y₁），N（x₂，y₃），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為B（（x₀，y₀），根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及斜率公式即可求出

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₃），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為B（（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，可得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{k}^{2}-1≠0}\\{△＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}≠\frac{1}{3}}\\{{m}^{2}+1＞3{k}^{2}}\end{array}\right.$，①，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{3km}{3{k}^{2}-1}}\\{{y}_{0}=kx+m=-\frac{m}{3{k}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
根據(jù)題意可得AB⊥MN，
∴k_AB=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}-0}$=$\frac{-m+3{k}^{2}-1}{-3km}$=-$\frac{1}{k}$，3k²=m+1，②，
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{4m+1＞0}\\{{m}^{2}+1＞4m+1}\\{4m+1≠1}\end{array}\right.$，解得m＞4或-$\frac{1}{4}$＜m＜0，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線(xiàn)和直線(xiàn)的關(guān)系以及韋達(dá)定理中點(diǎn)坐標(biāo)公式斜率公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題