Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸．

（Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的動(dòng)直線交曲線于點(diǎn)和，交于點(diǎn)，若直線，，的斜率依次成等差數(shù)列，試問(wèn)：是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）恒過(guò)定點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，可求出n，得到拋物線方程，求導(dǎo)得斜率，寫(xiě)出切線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，消元得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，，寫(xiě)出，，的斜率，根據(jù)成等差數(shù)列求不，即可證明直線過(guò)定點(diǎn).

試題解析：

（Ⅰ）由拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，得，所以，則拋物線方程為，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為，令得，所以點(diǎn)．

（Ⅱ）由題意知，因?yàn)?/span>與相交，所以．

設(shè)，令，得，故，

設(shè)，，

由消去得，則，，直線的斜率為，同理直線的斜率為，直線的斜率為．因?yàn)橹本�，，的斜率依次成等差數(shù)列，

所以，即，即整理得：，

因?yàn)?/span>不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以．故，即恒過(guò)定點(diǎn)．