Question

【題目】已知橢圓的離心率，且橢圓過(guò)點(diǎn)

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，其定值為.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，求出和的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）對(duì)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，可得出直線(xiàn)的方程為，可求出四邊形的面積；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得出，計(jì)算出以及原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算可得出四邊形的面積為，進(jìn)而得證.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意可得，解得，，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為或.

若直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，

此時(shí)，，四邊形的面積為，

同理，當(dāng)直線(xiàn)的方程為時(shí)，可求得四邊形的面積也為；

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程是，

代人到，得，

，，，

，

，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

由，得，，

點(diǎn)在橢圓上，所以有，整理得，

由題意知，四邊形為平行四邊形，

平行四邊形的面積為.

故四邊形的面積是定值，其定值為.