Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PB⊥平面ABCD．
（l）若AC=6，BD=8，PB=3，求三棱錐A一PBC的體積；
（2）若點E是DP的中點，證明：BD⊥平面ACE．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用轉換底面求三棱錐A一PBC的體積；
（2）設BD∩AC=O，連接OE，證明OE⊥平面ABCD，可得OE⊥BD，利用AC⊥BD，即可證明BD⊥平面ACE．

解答： （1）解：∵底面ABCD為菱形，
∴BD與AC垂直平分，
∴S_△ABC=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

×

1

2

×6×8=12，
∵PB⊥平面ABCD，PB=3，
∴V_A一PBC=V_P-ABC=

1

3

×12×3=12；
（2）證明：設BD∩AC=O，連接OE，則
∵O為BD的中點，E是PD的中點，
∴OE∥PB，
∵PB⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴OE⊥BD，
∵AC⊥BD，AC∩OE=O，
∴BD⊥平面ACE．

點評：本題考查體積的計算，考查線面垂直，正確運用線面垂直的判定定理是關鍵．