【題目】1，4，9，16……這些數(shù)可以用圖1中的點陣表示，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將其稱為正方形數(shù)，記第個數(shù)為.在圖2的楊輝三角中，第行是展開式的二項式系數(shù)，，…，，記楊輝三角的前行所有數(shù)之和為.

（1）求和的通項公式；

（2）當(dāng)時，比較與的大小，并加以證明.

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ），證明見解析

【解析】

（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點知，由二項式定理的性質(zhì)，求出楊輝三角形第行個數(shù)的和，由此能求出和的通項公式；

（Ⅱ）由時，，時，，證明：時，時，可以逐個驗證；證明時，時，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點可知；

由二項式定理的性質(zhì)，楊輝三角第行個數(shù)的和為，

所以.

（Ⅱ），，所以；

，，所以；

，，所以；

，，所以；

，所以；

猜想：當(dāng)時，；當(dāng)時，.

證明如下：

證法1：

當(dāng)時，已證.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，.

①當(dāng)時，已證：

②假設(shè)時，猜想成立，即，所以；

那么，，

所以，當(dāng)時，猜想也成立．

根據(jù)①②，可知當(dāng)時，.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某課程考核分理論與實驗兩部分進(jìn)行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”，則該課程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7，在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之間沒有影響．

(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

(2)求這三個人該課程考核都合格的概率(結(jié)果保留三位小數(shù))．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正項數(shù)列的前項和為，且和滿足： ．

（1）求的通項公式；

（2）設(shè)，求的前項和；

（3）在(2)的條件下，對任意,都成立，求整數(shù)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了加強學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力，他們以教材第97頁B組第3題的函數(shù)為基本素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分研究成果如下：

①同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：函數(shù)是偶函數(shù)；

②同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：對于任意的都有；

③同學(xué)丙發(fā)現(xiàn)：對于任意的，都有；

④同學(xué)丁發(fā)現(xiàn)：對于函數(shù)定義域中任意的兩個不同實數(shù)，總滿足.

其中所有正確研究成果的序號是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩支籃球隊賽季總決賽采用7場4勝制，每場必須分出勝負(fù)，場與場之間互不影響，只要有一隊獲勝4場就結(jié)束比賽．現(xiàn)已比賽了4場，且甲籃球隊勝3場．已知甲球隊第5，6場獲勝的概率均為，但由于體力原因，第7場獲勝的概率為．

（1）求甲隊分別以，獲勝的概率；

（2）設(shè)表示決出冠軍時比賽的場數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口的O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．

（I）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（II）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四面體中，，則四面體體積最大時，它的外接球半徑_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）如圖所示的某種容器的體積為，它是由圓錐和圓柱兩部分連接而成，圓柱與圓錐的底面半徑都為．圓錐的高為，母線與底面所成的角為；圓柱的高為，已知圓柱底面的造價為元，圓柱側(cè)面造價為元，圓錐側(cè)面造價為元．

（1）將圓柱的高表示為底面半徑的函數(shù)，并求出定義域；

（2）當(dāng)容器造價最低時，圓柱的底面半徑為多少？

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同步練習(xí)冊答案