Question

12．某項(xiàng)競(jìng)賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段選手要回答一個(gè)問(wèn)題．規(guī)定正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一階段競(jìng)賽，否則即遭淘汰．已知某選手通過(guò)初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，且各階段通過(guò)與否相互獨(dú)立．
（1）求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率；
（2）設(shè)該選手在競(jìng)賽中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值．

Answer 1

分析 （1）記“該選手通過(guò)初賽”為事件A，“該選手通過(guò)復(fù)賽”為事件B，“該選手通過(guò)決賽”為事件C，則P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{1}{4}$．那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率P=P（A$\overline{B}$），由此能求出結(jié)果．
（2）ξ可能取值為1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 （本題10分）
解：（1）記“該選手通過(guò)初賽”為事件A，“該選手通過(guò)復(fù)賽”為事件B，“該選手通過(guò)決賽”為事件C，
則P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{1}{4}$．
那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率P=P（A$\overline{B}$）=P（A）P（$\overline{B}$）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$．…（3分）
（2）ξ可能取值為1，2，3．
P（ξ=1）=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$．…（8分）
故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$

Eξ=$1×\frac{1}{4}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{3}{8}$=$\frac{17}{8}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．