Question

7．如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，點(diǎn)E為AD邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，現(xiàn)將此直角梯形沿DF折起，使得A-FD-B為直二面角，如圖乙所示．
（1）求證：AB∥平面CEF；
（2）若AF=$\sqrt{3}$，求點(diǎn)A到平面CEF的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AB∥OE，即可得到AB∥平面CEF，
（2）如圖5，連接FC，AC，取FD中點(diǎn)G，連接EG，CG．易得EG⊥平面BCEF，DC⊥平面ADF．由V_A-CEF=V_C-AEF，解得點(diǎn)A到平面CEF的距離

解答 解：（1）證明：如圖4所示，連接BD，F(xiàn)C交于點(diǎn)O，連接OE．
因?yàn)锽CDF為正方形，故O為BD中點(diǎn)．
又E為AD中點(diǎn)，故OE為△ADB的中位線．    …（3分）
∵AB∥OE，又OE?平面CEF，AB?平面CEF，
∴AB∥平面CEF．…（5分）
（2）解：如圖5，連接FC，AC，取FD中點(diǎn)G，連接EG，CG．
因?yàn)锳F=$\sqrt{3}$，易得EF=$\frac{1}{2}AD=1$，EG=$\frac{1}{2}AF=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵GC=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．            …（7分）
因?yàn)樵瓐D形為直角梯形，折起后A-FD-B為直二面角，
故易得EG⊥平面BCEF，DC⊥平面ADF．
∴EC=$\sqrt{E{G}^{2}+C{G}^{2}}=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}=\sqrt{2}$．．
又FC=$\sqrt{2}$，故易得等腰△CEF面積s_△CFE=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
而s_△AFE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（10分）
設(shè)點(diǎn)A到平面CEF的距離為h，
∵V_A-CEF=V_C-AEF，即$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{4}×h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×1$，解得h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
所以點(diǎn)A到平面CEF的距離為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，等體積法求點(diǎn)面距離，屬于中檔題．