Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²+ax，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若g（x）=e^x-2x-1，求函數(shù)g（x）的最小值；
（Ⅲ）求證：存在c＜0，當(dāng)x＞c時，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由條件可得a的方程，解方程可得a的值；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值，且為最值；
（Ⅲ）顯然g（x）=f'（x），且g（0）=0，運用零點存在定理可得g（x）的零點范圍，可設(shè)g（x）=f'（x）存在兩個零點，分別為0，x₀．討論x＜0時，0＜x＜x₀時，x＞x₀時，g（x）的符號，可得f（x）的極值，進而得到f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=e^x-x²+ax的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=e^x-2x+a，
由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=-1．
（Ⅱ）g'（x）=e^x-2，令g'（x）=0，得x=ln2，
所以x，g'（x），g（x）的變化情況如表所示：

x	（-∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	遞減	極小值	遞增

所以g（x）的極小值，且為最小值為g（ln2）=e^ln2-2ln2-1=1-2ln2．
（Ⅲ）證明：顯然g（x）=f'（x），且g（0）=0，
由（Ⅱ）知，g（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．
又g（ln2）＜0，g（2）=e²-5＞0，
由零點存在性定理，存在唯一實數(shù)x₀∈（ln2，2），滿足g（x₀）=0，
即${e^{x_0}}-2{x_0}-1=0$，${e^{x_0}}=2{x_0}+1$，
綜上，g（x）=f'（x）存在兩個零點，分別為0，x₀．
所以x＜0時，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
0＜x＜x₀時，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減；
x＞x₀時，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（0）是極大值，f（x₀）是極小值，$f（{x_0}）={e^{x_0}}-{x_0}^2-{x_0}=2{x_0}+1-{x_0}^2-{x_0}=-{x_0}^2+{x_0}+1=-{（{x_0}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{5}{4}$，
因為g（1）=e-3＜0，$g（\frac{3}{2}）={e^{\frac{3}{2}}}-4＞0$，
所以${x_0}∈（1，\frac{3}{2}）$，所以f（x₀）＞0，
因此x≥0時，f（x）＞0．
因為f（0）=1且f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
所以一定存在c＜0滿足f（c）＞0，
所以存在c＜0，當(dāng)x＞c時，f（x）＞0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)零點存在定理的運用，以及轉(zhuǎn)化思想，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．