Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

②若滿足，且．求證： ．

（2）函數(shù)．若對任意，都有，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①單調(diào)遞增區(qū)間，，單調(diào)遞減區(qū)間；②詳見解析；（2）.

【解析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達(dá)式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.

(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對值化簡可得,再構(gòu)造函數(shù),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問題可知,再換元表達(dá)求解最大值即可.

解：,

由可得或,

由可得,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間；

,

或,

若,因為,故,,

由知在上單調(diào)遞增,,

若由可得x1,

因為,

所以,

由在上單調(diào)遞增,

綜上．

時,,在上單調(diào)遞減,

不妨設(shè)

由(1)在上單調(diào)遞減,

由,

可得,

所以,

令,,

可得單調(diào)遞減,

所以在上恒成立,

即在上恒成立,即,

所以, ,

所以的最大值．