Question

【題目】已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點.

（Ⅰ）若，求曲線的方程；

（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；

（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）和.；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；

(Ⅱ)設(shè)點，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得：，利用，根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式，證明即可；

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，且，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得： ，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面釈計算公式、基本不等式的性質(zhì)，即可求解.

(Ⅰ)由題意：，

，解得，

則曲線的方程為：和.

(Ⅱ)證明：由題意曲線的漸近線為：，

設(shè)直線，

則聯(lián)立，得，

，解得：，

又由數(shù)形結(jié)合知.

設(shè)點，

則，，

，，

，即點在直線上.

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，點，

設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立，得：，

，

設(shè)，

，，

，

面積，

令，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以面積的最大值為.