Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)焦點(diǎn)F作傾斜角為α的直線，交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
（1）若α=45°，求線段AB的中點(diǎn)C到拋物線準(zhǔn)線的距離；
（2）求證：y₁y₂=-4．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）tanα=1，可得直線AB的方程：y=x-2．與拋物線方程聯(lián)立可得x²-8x+4=0，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x_C．即可得出線段AB的中點(diǎn)C到拋物線準(zhǔn)線的距離d=x_C+1．
（2）直線的方程為：y=（x-1）tanα．與拋物線方程聯(lián)立可得y2-

4

tanα

y-4=0，即可證明．

解答： （1）解：tanα=1，可得直線AB的方程：y=x-2．
聯(lián)立

y=x-2 y2=4x

，化為x²-8x+4=0，
∴x₁+x₂=8=2x_C，
解得x_C=4．
∴線段AB的中點(diǎn)C到拋物線準(zhǔn)線的距離d=4+1=5．
（2）證明：直線的方程為：y=（x-1）tanα．
聯(lián)立

y=(x-1)tanα y2=4x

，化為y2-

4

tanα

y-4=0，
∴y₁y₂=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．