18.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=$\frac{1}{2}$AA1=a,AB⊥AC,D是棱BB1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面A1DC⊥平面ADC
(Ⅱ)求平面A1DC將此三棱柱分成的兩部分的體積之比.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出AA1⊥AC,AB⊥AC,從而AC⊥平面ABB1A1,進(jìn)而AC⊥A1D,再求出AB⊥AC,AD⊥A1D,由此能證明A1D⊥平面ADC.
又∵A1D?平面A1DC,∴平面A1DC⊥平面ADC.
(Ⅱ)平面A1DC將三棱柱分成上、下兩部分,其上面部分幾何體為四棱錐A-B1C1CD,下面部分幾何體為四棱錐C-ABDA1.由此能求出兩部分幾何體的體積之比.

解答 證明:(Ⅰ)在三棱柱中,有AA1⊥AC,
又∵AB⊥AC,AB∩AC=A,
∴AC⊥平面ABB1A1
∵A1D?平面ABB1A1,∴AC⊥A1D,
由AB=AC=$\frac{1}{2}$AA1=a,AB⊥AC,D是棱BB1的中點(diǎn).
∴AD=${A}_{1}D=\sqrt{2}a$,AA1=2a,
則$A{D}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}$=2a2+2a2=4a2=AA12,∴AD⊥A1D,
∵AD∩AC=A,∴A1D⊥平面ADC.
又∵A1D?平面A1DC,∴平面A1DC⊥平面ADC.
解:(Ⅱ)平面A1DC將三棱柱分成上、下兩部分,
其上面部分幾何體為四棱錐A-B1C1CD,下面部分幾何體為四棱錐C-ABDA1
在平面A1B1C1中,過點(diǎn)A1作A1E⊥B1C1,垂足為E,
則A1E⊥平面B1C1CD,
∴A1E是四棱錐A1-B1C1CD的高,
在Rt△A1B1C1中,∵A1B1=A1C1=a,∴${A}_{1}E=\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
B1C1CD為直角梯形,其面積${S}_{{B}_{1}{C}_{1}CD}=\frac{1}{2}({B}_{1}D+{C}_{1}C)$•B1C1=$\frac{3\sqrt{2}}{2}{a}^{2}$,
∴四棱錐A1-B1C1CD的體積${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CD}=\frac{1}{3}{S}_{{B}_{1}{C}_{1}CD}$•A1E=$\frac{1}{2}{a}^{3}$.
∵三棱柱ABC-A1B1C1的體積${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${S}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S△ABC•AA1=$\frac{1}{2}{a}^{2}•2a={a}^{3}$,
所以下部分幾何體C-ABDA1的體積${V}_{C-ABCD{A}_{1}}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}{a}^{3}$,
所以兩部分幾何體的體積之比為1:1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明,考查幾何體的兩部分的比值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想是,是中檔題.

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