Question

18．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁=a，AB⊥AC，D是棱BB₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面A₁DC⊥平面ADC
（Ⅱ）求平面A₁DC將此三棱柱分成的兩部分的體積之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AA₁⊥AC，AB⊥AC，從而AC⊥平面ABB₁A₁，進(jìn)而AC⊥A₁D，再求出AB⊥AC，AD⊥A₁D，由此能證明A₁D⊥平面ADC．
又∵A₁D?平面A₁DC，∴平面A₁DC⊥平面ADC．
（Ⅱ）平面A₁DC將三棱柱分成上、下兩部分，其上面部分幾何體為四棱錐A-B₁C₁CD，下面部分幾何體為四棱錐C-ABDA₁．由此能求出兩部分幾何體的體積之比．

解答 證明：（Ⅰ）在三棱柱中，有AA₁⊥AC，
又∵AB⊥AC，AB∩AC=A，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∵A₁D?平面ABB₁A₁，∴AC⊥A₁D，
由AB=AC=$\frac{1}{2}$AA₁=a，AB⊥AC，D是棱BB₁的中點(diǎn)．
∴AD=${A}_{1}D=\sqrt{2}a$，AA₁=2a，
則$A{D}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}$=2a²+2a²=4a²=AA₁²，∴AD⊥A₁D，
∵AD∩AC=A，∴A₁D⊥平面ADC．
又∵A₁D?平面A₁DC，∴平面A₁DC⊥平面ADC．
解：（Ⅱ）平面A₁DC將三棱柱分成上、下兩部分，
其上面部分幾何體為四棱錐A-B₁C₁CD，下面部分幾何體為四棱錐C-ABDA₁．
在平面A₁B₁C₁中，過點(diǎn)A₁作A₁E⊥B₁C₁，垂足為E，
則A₁E⊥平面B₁C₁CD，
∴A₁E是四棱錐A₁-B₁C₁CD的高，
在Rt△A₁B₁C₁中，∵A₁B₁=A₁C₁=a，∴${A}_{1}E=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
B₁C₁CD為直角梯形，其面積${S}_{{B}_{1}{C}_{1}CD}=\frac{1}{2}（{B}_{1}D+{C}_{1}C）$•B₁C₁=$\frac{3\sqrt{2}}{2}{a}^{2}$，
∴四棱錐A₁-B₁C₁CD的體積${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CD}=\frac{1}{3}{S}_{{B}_{1}{C}_{1}CD}$•A₁E=$\frac{1}{2}{a}^{3}$．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${S}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•AA₁=$\frac{1}{2}{a}^{2}•2a={a}^{3}$，
所以下部分幾何體C-ABDA₁的體積${V}_{C-ABCD{A}_{1}}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}{a}^{3}$，
所以兩部分幾何體的體積之比為1：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，考查幾何體的兩部分的比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想是，是中檔題．