已知A、B為拋物線C：y2 = 4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限l1、l2分別過(guò)點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，P為l1、l2的交點(diǎn).
（1）若直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，求證：動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線上，并求此直線方程；
（2）設(shè)C、D為直線l1、l2與直線x = 4的交點(diǎn)，求面積的最小值.

（1）；（2）

解析試題分析：（1）設(shè)， （），方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用直線與拋物線y2 = 4x相切，故，求，故切線的方程。同理可求得切線方程為，聯(lián)立得交點(diǎn)，再注意到已知條件直線AB過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，故表示直線AB的方程為，將拋物線焦點(diǎn)代入，得，從而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)P在定直線上；（2）列面積關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)最小值即可，由已知得，，，故，又高為，故三角形的面積為，再求最小值即可．
（1）設(shè)， （）.
易知斜率存在，設(shè)為，則方程為.
由得，        ①
由直線與拋物線相切，知.
于是，，方程為.
同理，方程為.
聯(lián)立、方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
∵ ，方程為，
過(guò)拋物線的焦點(diǎn).
∴，∴，點(diǎn)P在定直線上.
（2）由（1）知，的坐標(biāo)分別為，
∴.
∴ .   
設(shè)（），，
由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
∴ 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線過(guò)點(diǎn)P且離心率為.
（1）求的方程；
（2）橢圓過(guò)點(diǎn)P且與有相同的焦點(diǎn)，直線過(guò)的右焦點(diǎn)且與交于A，B兩點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓心過(guò)點(diǎn)P，求的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（14分）（2011•廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x=﹣2交x軸于點(diǎn)A，設(shè)P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，﹣1），設(shè)H是E上動(dòng)點(diǎn)，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)T（1，﹣1）且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線l1的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動(dòng)弦．
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若,求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動(dòng)弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知，求過(guò)點(diǎn)及拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)的圓的方程；
（3）已知，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓，、是橢圓的左右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求該橢圓方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且傾斜角等于的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（2011•山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=﹣3于點(diǎn)D（﹣3，m）．
（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；
（ii）試問(wèn)點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,-1)，B點(diǎn)在直線y = -3上，M點(diǎn)滿足， ，M點(diǎn)的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）P為C上的動(dòng)點(diǎn)，l為C在P點(diǎn)處得切線，求O點(diǎn)到l距離的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，如果弦的長(zhǎng)度.
⑴求的值；
⑵求證：（O為原點(diǎn)）。

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