Question

9．定義：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b）滿足f'（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f'（x₂）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“雙中值函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=2x³-x²+m是[0，2a]上“雙中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{8}$）
• D． （$\frac{1}{8}$，1）

Answer 1

分析 根據(jù)定義得出$\frac{f（2a）-f（0）}{2a}$=8a²-2a，相當(dāng)于6x²-2x=8a²-2a在[0，2a]上有兩個根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=2x³-x²+m是[0，2a]上的“雙中值函數(shù)”，
∴$\frac{f（2a）-f（0）}{2a}$=8a²-2a，
∵f'（x）=6x²-2x，
∴6x²-2x=8a²-2a在[0，2a]上有兩個根，
令g（x）=6x²-2x-8a²+2a，
∴△=4+24（8a²-2a）＞0，
g（0）＞0，
g（2a）＞0，
2a＞$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{1}{8}$＜a＜$\frac{1}{4}$．
故選A．

點(diǎn)評 考查了新定義類型題的解題方法，重點(diǎn)是對新定義性質(zhì)的理解．