Question

6．已知a，b為正實數(shù)，直線y=x-a與曲線y=ln（x+b）相切，則$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$的最小值為5+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知切線的方程，可得切線的斜率，求得切線的坐標，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：y=ln（x+b）的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x+b}$，
由切線的方程y=x-a可得切線的斜率為1，
可得切點的橫坐標為1-b，切點為（1-b，0），
代入y=x-a，得a+b=1，
∵a、b為正實數(shù)，
則$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$=（a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$）=2+3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{3a}}$=5+2$\sqrt{6}$．
當且僅當a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b，即a=$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$，b=3-$\sqrt{6}$時，取得最小值5+2$\sqrt{6}$．
故答案為：5+2$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．