Question

14．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}}$（φ是參數(shù)方程，0≤φ≤π）．以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）直線l₁的極坐標方程是2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{3}$=0，直線l₂：θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）與曲線C的交點為P，與直線l₁的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）把參數(shù)方程消去參數(shù)φ，可得曲線C的普通方程，再根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲線C的極坐標方程．
（2）利用極坐標方程求得P、Q的坐標，可得線段PQ的長．

解答 解：（1）消去參數(shù)φ，可得曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=3，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以曲線C的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-2=0，（0≤θ≤π）．
（2）設(shè)P（ρ₁，θ₁），則有$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ^2}-2ρcosθ-2=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，解得${ρ_1}=2，{θ_1}=\frac{π}{3}$，即P（2，$\frac{π}{3}$）．
設(shè)Q（ρ₂，θ₂），則有$\left\{{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，解得${ρ_2}=-3，{θ_2}=\frac{π}{3}$，即Q（-3，$\frac{π}{3}$），
所以|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=5．

點評 本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程的應(yīng)用以及極坐標的意義，屬于基礎(chǔ)題．