Question

如圖，△ABC中，

GA

+

GB

+

GC

=

0

，

CA

=

a

，

CB

=

b

，若

CP

=m

a

，

CQ

=n

b

，CG與PQ交于點H，

CG

=2

CH

，則

1

m

+

1

n

=（　�。�

• A、8
• B、6
• C、4
• D、2

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：容易判斷G為△ABC的重心，延長CG交AB于D，利用特殊值法求

1

m

+

1

n

，取特殊的情況：PQ∥AB，根據

CG

=2

CH

及重心的性質容易得出|CH|=

1

3

|CD|，所以得到|CP|=

1

3

|CA|，|CQ|=

1

3

|CB|，所以得到m=

1

3

，n=

1

3

，所以

1

m

+

1

n

就能求了．

解答： 解：本題可以用特殊值法求解，如下圖，假設PQ∥AB；
取AB中點D，連接GD，則

GA

+

GB

=2

GD

，∵

GA

+

GB

+

GC

=

0

；
2

GD

+

GC

=

0

，∴

GC

=-2

GD

，∴

GC

與

GD

共線；
∴CD為△ABC邊AB上的中線，同理可得到BG，AG分別延長之后，交于對邊的中點；
∴G是△ABC中線的交點，即G是△ABC的重心；
∵

CG

=2

CH

，即|CG|=2|CH|，|CH|=

1

2

|CG|，根據重心的性質，|CG|=2|GD|，∴|CH|=|GD|=

1

3

|CD|；
∵PQ∥AB
∴|CP|=

1

3

|CA|，|CQ|=

1

3

|CB|；
又

CP

=m

a

=m

CA

，

CQ

=n

b

=n

CB

；
∴m=n=

1

3

；
∴

1

m

+

1

n

=6．
故選：B．

點評：考查向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，重心的性質，向量數乘的幾何意義．