Question

4．已知點P在以F₁、F₂為焦點的雙曲線上，且$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0，∠P{F_1}{F_2}={30°}$，則雙曲線的離心率（　�。�

• A． $1+\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，求得|PF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$c，|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，由雙曲線的性質可知：|PF₁|-|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c=2a，求得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．

解答 解：設雙曲線的焦距長為2c，
∵點P為雙曲線上一點，且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，
∴PF₂⊥F₁F₂，
由∠PF₁F₂=30°，
∴|PF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$c，|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
∴|PF₁|-|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c=2a，a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{3}c}$=$\sqrt{3}$，
故答案選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的定義，考查學生的計算能力，屬于基礎題．