【題目】在四棱錐中,平面
平面
,底面
為梯形,
,
,且
,
,
.
(I)求證:;
(II)求二面角_____的余弦值;
從①,②
,③
這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.
(III)若是棱
的中點,求證:對于棱
上任意一點
,
與
都不平行.
【答案】(I)見解析(II)見解析(III)見解析
【解析】
(I)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理,可證明平面
,進而證明
;
(II)在平面內(nèi)過點D作
,交
于H,以D為原點,
所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系
,寫出各個點的坐標,并求得各平面法向量,由法向量法即可求得各二面角的大小;
(III)假設(shè)棱BC上存在點F,.設(shè)
表示出
,
,設(shè)
,可得關(guān)于
的方程組,方程組無解即可確定
與
不平行.
(I)證明:因為平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,
所以平面
,
又因為平面
,
所以.
(Ⅱ)選擇①:在平面內(nèi)過點D作
,交
于H.
由(I)可知,平面
,所以
.
故兩兩垂直,
如圖,以D為原點,所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系
,
則.
因為平面
,所以平面
的一個法向量為
.
而,
,
設(shè)平面的一個法向量為
則由,得
,
取,有
.
所以.
由題知二面角為銳角,
故二面角的余弦值為
.
選擇②:(下面給出關(guān)鍵點供參考,若與上面建系相同,)
平面ABCD的一個法向量為;
平面PBD的一個法向量為;
二面角為鈍角:二面角
的余弦值為
.
選擇③:(下面給出關(guān)鍵點供參考,若與上面建系相同,)
平面ABCD的法向量;
平面PBC的法向量;
二面角為銳角;二面角
的余弦值為
.
(Ⅲ)假設(shè)棱BC上存在點F,.設(shè)
.
依題意,可知,
,
,
,
,
,設(shè)
,
則,而此方程組無解,
故假設(shè)不成立,所以結(jié)論成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況,從該校上一屆高三(1)班到高三(5)班隨機抽取50人,得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù),并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.
(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖,估計本屆高三學生本科上線率.
(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬,假設(shè)以(1)中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.
(i)若從甲市隨機抽取10名高三學生,求恰有8名學生達到本科線的概率(結(jié)果精確到0.01);
(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬,假設(shè)該市每個考生本科上線率均為,若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,求p的取值范圍.
可能用到的參考數(shù)據(jù):取,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于正整數(shù),如果
個整數(shù)
滿足
,
且,則稱數(shù)組
為
的一個“正整數(shù)分拆”.記
均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為
均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為
.
(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;
(Ⅱ)對于給定的整數(shù),設(shè)
是
的一個“正整數(shù)分拆”,且
,求
的最大值;
(Ⅲ)對所有的正整數(shù),證明:
;并求出使得等號成立的
的值.
(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”
與
,當且僅當
且
時,稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關(guān)于曲線,給出下列四個結(jié)論:
①曲線C關(guān)于原點對稱,但不關(guān)于x軸、y軸對稱;
②曲線C恰好經(jīng)過4個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);
③曲線C上任意一點都不在圓的內(nèi)部;
④曲線C上任意一點到原點的距離都不大于.
其中,正確結(jié)論的序號是________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合,對于
,
,定義A與B的差為
;A與B之間的距離為
.
(I)若,試寫出所有可能的A,B;
(II),證明:
(i);
(ii)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù);
(III)設(shè),
中有m(
,且為奇數(shù))個元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知橢圓:(
)的離心率為
,右準線方程是直線l:
,點P為直線l上的一個動點,過點P作橢圓的兩條切線
,切點分別為AB(點A在x軸上方,點B在x軸下方).
(1)求橢圓的標準方程;
(2)①求證:分別以為直徑的兩圓都恒過定點C;
②若,求直線
的方程.
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