Question

2．已知點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F（2，0）的距離與定直線x=$\frac{5}{2}$的距離之比為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為F′，是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l交曲線E與A、B兩點(diǎn)，使得△F′AB的面積為$\sqrt{5}$？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，化簡(jiǎn)整理，可得曲線E的方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，且三角形F′AB的面積為$\sqrt{5}$．設(shè)直線l：x=my+2，代入橢圓方程x²+5y²=5，運(yùn)用韋達(dá)定理，由三角形的面積公式可得$\frac{1}{2}$•4•|y₁-y₂|=$\sqrt{5}$，化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到所求直線的方程．

解答 解：（I）由題意可得$\frac{\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}}{|x-\frac{5}{2}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
移項(xiàng)兩邊平方可得，x²+y²-4x+4=$\frac{4}{5}$x²-4x+5，
即有曲線E的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（2，0）的直線l交曲線E于A、B兩點(diǎn)，
且三角形F′AB的面積為$\sqrt{5}$．
由題意可得F'（-2，0），設(shè)直線l：x=my+2，
代入橢圓方程x²+5y²=5，可得
（5+m²）y²+4my-1=0，
設(shè)直線l交橢圓E于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
可得y₁+y₂=-$\frac{4m}{5+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{5+{m}^{2}}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{（5+{m}^{2}）^{2}}+\frac{4}{5+{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}\sqrt{1+{m}^{2}}}{5+{m}^{2}}$，
由三角形F′AB的面積為$\sqrt{5}$，可得$\frac{1}{2}$•4•|y₁-y₂|=$\sqrt{5}$，
即有$\frac{4\sqrt{5}\sqrt{1+{m}^{2}}}{5+{m}^{2}}$=$\sqrt{5}$，解得m=±$\sqrt{3}$，
可得存在直線l，且方程為x=±$\sqrt{3}$y+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離公式，考查存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和三角形的面積公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．