Question

9．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$|\overrightarrow a|=4$，$|\overrightarrow b|=3$且$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$．
（1）求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；
（2）求$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$．

Answer 1

分析 （1）將$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$展開化簡即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值；
（2）計算（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$）²，再開方即可得出|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$|．

解答 解：（1）∵$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$，∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$-3${\overrightarrow}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=61，
即4×16-3×9-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=61，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-6．
（2）（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$=16+24+36=76，
∴|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$|=$\sqrt{76}$=2$\sqrt{19}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．