Question

14．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M，N分別是AB₁，BB₁的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量的夾角公式、數(shù)量積的運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AB=2，則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），N（2，2，1），B₁（2，2，2）．
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{CN}$=（2，0，1）．
∴cos$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{CN}＞$=cos$＜\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{CN}＞$=$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}||\overrightarrow{CN}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴直線AM與CN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選：B．

點評 本題考查了通過求向量的夾角公式求異面直線的夾角、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．