Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$tan（2x+$\frac{π}{4}$），
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）的單調(diào)區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正切函數(shù)的定義與性質(zhì)，即可求出函數(shù)f（x）的定義域；
（2）函數(shù)正切函數(shù)的解析式，求出它的單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱(chēng)中心即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$tan（2x+$\frac{π}{4}$），
∴2x+$\frac{π}{4}$≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x≠$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的定義域{x|x≠$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}；
（2）∵函數(shù)g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$tan（2x-$\frac{π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}$+kπ＜2x-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$＜x＜$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴g（x）的單調(diào)區(qū)間是（-$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$），k∈Z，
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函數(shù)g（x）的對(duì)稱(chēng)中心是（$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正切函數(shù)的定義與性質(zhì)，以及單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱(chēng)中心的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．