如圖，已知橢圓數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），下頂點(diǎn)為A（0，-b），直線AF與橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C，若F恰好為線段AB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若FC=數(shù)學(xué)公式，求橢圓的方程．

解（1）因?yàn)锽在右準(zhǔn)線上，且F恰好為線段AB的中點(diǎn)，所以2c=，…（2分）
即=，所以橢圓的離心率e=…（4分）
（2）由（1）知a=c，b=c，所以直線AB的方程為y=x-c，
設(shè)C（x0，x0-c），因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以+=1，…（6分）
即+2（x0-c）2=2c2，
解得x0=0（舍去），x0=c．
所以C為（c，c），…（8分）
因?yàn)镕C=，由兩點(diǎn)距離公式可得（c-c）2+（c）2=，
解得c2=2，所以a=2，b=，
所以此橢圓的方程為+=1． …（10分）
分析：（1）依題意，可求得2c=，從而可求得橢圓的離心率；
（2）由（1）可知直線AB的方程為y=x-c，設(shè)C（x0，x0-c），將其代入橢圓方程，可求得x0，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出FC=，可求得c，從而可求得橢圓的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)（求離心率），考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查方程思想與化歸思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

素材1：如圖，已知橢圓 =1(2≤m≤5),過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)锳、B、C、D;

素材2：設(shè)f(m)=||AB|-|CD||.

試根據(jù)上述素材構(gòu)建一個(gè)問題，然后再解答.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓=1(2≤m≤5),過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)?i>A、B、C、D，設(shè)f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆廣東省、陽東一中高二上聯(lián)考文數(shù)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖，已知橢圓=1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上的頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另 一點(diǎn)B.

(1)若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；

(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期11月月考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）

如圖，已知橢圓=1（2≤m≤5），過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及直線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)?i>A、B、C、D，設(shè)．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求的最值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河南省高二上學(xué)期12月份考試數(shù)學(xué)卷（文理） 題型：解答題

（12分）如圖，已知橢圓=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，），離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2. 點(diǎn)P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2, 證明：=2；

 

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