Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|-2a+3，下列五個結(jié)論：
①當(dāng)a＜

3

2

時，函數(shù)f（x）沒有零點；
②當(dāng)a=

3

2

時，函數(shù)f（x）有兩個零點；
③當(dāng)

3

2

＜a＜2時，函數(shù)f（x）有四個零點；
④當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）有三個零點；
⑤當(dāng)a＞2時，函數(shù)f（x）有兩個零點．
其中正確的結(jié)論的序號是

①②③④⑤

．（填上所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析：f（x）=|x²-1|-2a+3，由f（x）=0，得|x²-1|=2a-3，由此利用絕對值的性質(zhì)對a的取值進(jìn)行分類討論，能夠求出結(jié)果．

解答：解：∵f（x）=|x²-1|-2a+3，∴由f（x）=0，得|x²-1|=2a-3，
①當(dāng)a＜

3

2

時，∵2a-3＜0，|x²-1|≥0，
∴|x²-1|=2a-3無解，
∴當(dāng)a＜

3

2

時，函數(shù)f（x）沒有零點，故①正確；
②當(dāng)a=

3

2

時，2a-3=0，|x²-1|≥0，
∴由|x²-1|=2a-3，得|x²-1|=0，解得x=±1，
∴當(dāng)a=

3

2

時，函數(shù)f（x）有兩個零點，故②正確；
③當(dāng)

3

2

＜a＜2時，0＜2a-3＜1，則|x²-1|=2a-3，
解得x=±

2a-2

，或x=±

4-2a

，
∴當(dāng)

3

2

＜a＜2時，函數(shù)f（x）有四個零點，故③正確；
④當(dāng)a=2時，2a-3=1，
由|x²-1|=2a-3，得|x²-1|=1，解得x=0，或x=±

2

．
∴當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）有三個零點，故④正確；
⑤當(dāng)a＞2時，2a-3＞1，則|x²-1|=2a-3，
解得x=±

2a-2

．
∴當(dāng)a＞2時，函數(shù)f（x）有兩個零點，故⑤正確．
故答案為：①②③④⑤．

點評：本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想和絕對值性質(zhì)的合理運(yùn)用．