已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率。它有一個頂點恰好是拋物線=4y的焦點。過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且。
（Ⅰ）求動點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左右頂點分別為A，B，直線AC（C點不同于A，B）與直線交于點R，D為線段RB的中點。試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論。

（Ⅰ）動點的軌跡的方程為；（Ⅱ）直線與圓相切．

解析試題分析：（Ⅰ）求動點C的軌跡E的方程，由題意首先求出橢圓的方程為，設，，由已知，找出與之間的關系，利用點在橢圓上，代入即可求出動點C的軌跡E的方程；（Ⅱ）判斷直線CD與曲線E的位置關系，由（Ⅰ）動點的軌跡的方程為，主要看圓心到直線距離與半徑之間的關系，因此，主要找直線的方程，設，則，由題意三點共線，得 ∥，設點的坐標為，利用共線，求出，得點的坐標為，從而得點的坐標為，這樣寫出直線的方程，利用點到直線位置關系，從而可判斷直線CD與曲線E的位置關系．
試題解析：（Ⅰ）設橢圓C的方程為，則由題意知b = 1，，
∴，，所以橢圓的方程為。（2分）
設，，由題意得，即
又，代入得，即。
即動點的軌跡的方程為。（6分）
（Ⅱ）設，點的坐標為，
∵三點共線，∴ ∥，
而，，則，∴，
∴點的坐標為，點的坐標為，
∴直線的斜率為，（9分）
而，∴，∴，
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切。（13分）
考點：求軌跡方程，判斷直線與圓的位置關系．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

過點Q(-2,)作圓O:x2+y2=r2(r>0)的切線,切點為D,且|QD|=4.
(1)求r的值.
(2)設P是圓O上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過點P作圓O的切線l,且l交x軸于點A,交y軸于點B,設=+,求||的最小值(O為坐標原點).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知以點C (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
(1)求證：△AOB的面積為定值；
(2)設直線2x＋y－4＝0與圓C交于點M、N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；
(3)在(2)的條件下，設P、Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C的動點，求|PB|＋|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知的三個頂點，，，其外接圓為．
(1)若直線過點，且被截得的弦長為2，求直線的方程；
(2)對于線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，使得點是線段的中點，求的半徑的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線AC（C點不同于A，B）與直線交于點R，D為線段RB的中點，試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓.（14分）
(1)此方程表示圓，求m的取值范圍；
(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M、N兩點，且(O為坐標原點)，求m的值；
(3)在(2)的條件下，求以為直徑的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓經(jīng)過，兩點，且在兩坐標軸上的四個截距之和為2.
（1）求圓的方程；
（2）若為圓內(nèi)一點，求經(jīng)過點被圓截得的弦長最短時的直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，點，直線。設圓的半徑為，圓心在上。

（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；
（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍。．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直線L：x-2y-5=0與圓C：x2+y2=50.求：
（1）交點A,B的坐標；（2）△AOB的面積

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