Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₄=6，a₅+a₇=24．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和性質(zhì)求出首項、公差，即可得到通項公式，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₅+a₇=26，∴2a₆=26，則a₆=13，
又a₄=7，則公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{4}}{6-4}$=3，
由a₄=a₁+3d=7，得a₁=-2，
∴a_n=-2+3（n-1）=3n-5，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=-2×（$\frac{1}{2}$）+1•（$\frac{1}{2}$）²+4•（$\frac{1}{2}$）³+…+（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=-2×（$\frac{1}{2}$）²+1•（$\frac{1}{2}$）³+4•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減得$\frac{1}{2}$T_n=-1+3×（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+3•（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=-1+3•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{2}$-（3n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴T_n=1-（3n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．