Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$，由x₁=a，x_n+1=f（x_n）產生的無窮數(shù)列{x_n}，對任意正整數(shù)n均有x_n＜x_n+1成立，則a的取值范圍是（1，2）．

Answer 1

分析 要使對任意正整數(shù)n，均有x_n＜x_n+1，則必須x＜$\frac{4x-2}{x+1}$，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2，再分別進行驗證，依此類推，即可得到a的范圍．

解答 解：不等式x＜$\frac{4x-2}{x+1}$，即為$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x+1}$＜0，
即為$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{{x}^{2}-3x+2＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜0}\\{{x}^{2}-3x+2＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{1＜x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{x＞2或x＜1}\end{array}\right.$，
得x＜-1或1＜x＜2，
要使x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2．
對于函數(shù)f（x）=$\frac{4x-2}{x+1}$，
若x₁＜-1，則x₂=f（x₁）=$\frac{4{x}_{1}-2}{{x}_{1}+1}$=4-$\frac{6}{{x}_{1}+1}$＞4，
x₃=f（x₂）=4-$\frac{2}{1+{x}_{2}}$＜x₂，與題意不符；
當1＜x₁＜2時，x₂=f（x₁）=4-$\frac{6}{{x}_{1}+1}$∈（1，2），
x₂-x₁=$\frac{4{x}_{1}-2}{{x}_{1}+1}$-x₁=-$\frac{（{x}_{1}-1）（{x}_{1}-2）}{{x}_{1}+1}$＞0，
即有x₂＞x₁，且1＜x₂＜2．
依此類推可得數(shù)列{x_n}的所有項均滿足x_n+1＞x_n（n∈N）．
綜上所述，a=x₁∈（1，2），
故答案為：（1，2）．

點評 本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合應用，考查數(shù)列的單調性，以及不等式的解法，考查分類討論的思想方法，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．