如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).
(1)求證:A1B∥平面ADC1;
(2)若AB=AC,BC=AA1=2,求點(diǎn)A1到平面ADC1的距離.
考點(diǎn):點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算,直線(xiàn)與平面平行的判定
專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)連接A1C,交AC1于點(diǎn)E,連接DE,則DE∥A1B.由此能證明A1B∥平面ADC1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A1B∥平面ADC1,則點(diǎn)A1與B到與平面ADC1的距離相等,從則C到與平面ADC1的距離即為所求.
解答: (本小題滿(mǎn)分12分)
(Ⅰ)證明:連接A1C,交AC1于點(diǎn)E,
則點(diǎn)E是A1C及AC1的中點(diǎn).
連接DE,則DE∥A1B.
因?yàn)镈E?平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.…(4分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知A1B∥平面ADC1,
則點(diǎn)A1與B到與平面ADC1的距離相等,
又點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)C與B到與平面ADC1的距離相等,
則C到與平面ADC1的距離即為所求.…(6分)
因?yàn)锳B=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC,又AD⊥A1A,
所以AD⊥平面BCC1B1,平面ADC1⊥平面BCC1B1
作于CF⊥DC1于F,則CF⊥平面ADC1,CF即為所求距離.…(10分)
在Rt△DCC1中,CF=
DC×CC1
DC1
=
2
5
5

所以A1到與平面ADC1的距離為
2
5
5
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明,考查點(diǎn)到平面的距離的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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