Question

3．直線(xiàn)2x-y+a=0與3x+y-3=0交于第一象限，當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a≥0}\\{3x+y-3≤0}\end{array}\right.$表示的區(qū)域上運(yùn)動(dòng)時(shí)，m=4x+3y的最大值為8，此時(shí)n=$\frac{y}{x+3}$的最大值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a=0}\\{3x+y-3=0}\end{array}\right.$，可得交點(diǎn)，利用當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a≥0}\\{3x+y-3≤0}\end{array}\right.$，表示的區(qū)域上運(yùn)動(dòng)時(shí)，m=4x+3y的最大值為8，求出a．然后利用線(xiàn)性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值即可．

解答 解：由題意，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a=0}\\{3x+y-3=0}\end{array}\right.$，可得交點(diǎn)（$\frac{3-a}{5}$，$\frac{6+3a}{5}$），
當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a≥0}\\{3x+y-3≤0}\end{array}\right.$，表示的區(qū)域上運(yùn)動(dòng)時(shí)，m=4x+3y的最大值為8，
∴4×$\frac{3-a}{5}$+3×$\frac{6+3a}{5}$=8，∴a=2，
此時(shí)，直線(xiàn)2x-y+2=0與3x+y-3=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$），交于第一象限，
畫(huà)出約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{3x+y-3≤0}\end{array}\right.$的可行域，目標(biāo)函數(shù)n=$\frac{y}{x+3}$的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與（-3，0）連線(xiàn)的斜率，
由可行域可知A與（-3，0）連線(xiàn)的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{3x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$），
n=$\frac{y}{x+3}$的最大值為：$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．