Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0
（1）求角B的大��；
（2）若b=$\frac{1}{2}$，求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的內角和，和角的余弦公式化簡，即可得出結論．
（2）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡可求三角形周長l=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由已知可求范圍A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函數的圖象和性質即可得解其取值范圍．

解答 解：（1）∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
∴sinAsinB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴l(xiāng)=a+b+c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵B=$\frac{π}{3}$，A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
可得△ABC的周長l的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題主要考查了三角形的內角和定理，和角的余弦公式，正弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．