Question

17．7個(gè)學(xué)生排成一排，在下列情況下，各有多少種不同排法？
（1）甲排頭，
（2）甲不排頭，也不排尾，
（3）甲、乙、丙三人必須在一起，
（4）甲、乙之間有且只有兩人，
（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰．

Answer 1

分析 （1）甲固定不動(dòng)，其余6人全排；
（2）甲不排頭，也不排尾；則甲在中間，先排甲，再排其他；
（3）甲、乙、丙三人必須在一起，利用捆綁法；
（4）（4）從甲、乙之外的5人中選2個(gè)人排甲、乙之間，有${A}_{5}^{2}$，甲、乙可以交換有${A}_{2}^{2}$，把該四人當(dāng)成一個(gè)整體，再加上另三人，相當(dāng)于4人的全排列；
（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，利用插空法．

解答 解：（1）甲固定不動(dòng)，其余有${A}_{6}^{6}$=720，即共有720種；
（2）甲有中間5個(gè)位置供選擇，其余任意排，共有${A}_{5}^{1}$•${A}_{6}^{6}$=3600種；
（3）先排甲乙丙三人，把這三個(gè)人看做一個(gè)整體當(dāng)做一個(gè)復(fù)合元素，再加上另外4人，進(jìn)行全全排列，共有${A}_{3}^{3}$•${A}_{5}^{5}$=720種；
（4）（4）從甲、乙之外的5人中選2個(gè)人排甲、乙之間，有${A}_{5}^{2}$，甲、乙可以交換有${A}_{2}^{2}$，把該四人當(dāng)成一個(gè)整體，再加上另三人，相當(dāng)于4人的全排列，則共有${A}_{5}^{2}$${A}_{2}^{2}$${A}_{4}^{4}$=960種；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，四人形成五個(gè)空位，甲、乙、丙三人排這五個(gè)空位，有${A}_{4}^{4}$•${A}_{5}^{3}$=1440種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意特殊問(wèn)題的處理方法，如相鄰用捆綁法，不能相鄰用插空法．