Question

13．有下列命題：
①在函數(shù)$y=cos（{x-\frac{π}{4}}）cos（{x+\frac{π}{4}}）$的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；
②函數(shù)y=$\frac{x+3}{x-1}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對稱；
③“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的必要不充分條件；
④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則角C等于30°或150°．
其中所有真命題的個數(shù)是1．

Answer 1

分析 對于①，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦可得函數(shù)$y=cos（{x-\frac{π}{4}}）cos（{x+\frac{π}{4}}）$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x，相鄰兩個對稱中心的距離為$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，可判斷①錯誤；
對于②，由函數(shù)y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{（x-1）+4}{x-1}$=1+$\frac{4}{x-1}$的圖象的對稱中心為（1，1），而不是（-1，1）可判斷②錯誤；
對于③，利用充分必要條件的定義可判斷出“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要條件，可判斷③錯誤；
對于④，寫出命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1的否定￢p：存在x∈R，使得sinx＞1，可判斷④正確；
對于⑤，在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，可知B為銳角，且A為鈍角，再由（3sinA+4cosB）²+（4sinB+3cosA）²=6²+1=37，可得sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=$\frac{1}{2}$⇒C=30°，可判斷⑤錯誤．

解答 解：對于①，∵$y=cos（{x-\frac{π}{4}}）cos（{x+\frac{π}{4}}）$=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x，
∴其周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，相鄰兩個對稱中心的距離為$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，故①錯誤；
對于②，函數(shù)y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{（x-1）+4}{x-1}$=1+$\frac{4}{x-1}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱，而不是關(guān)于（-1，1）對稱，故②錯誤；
對于③，若a≠5且b≠-5，則a+b≠0不成立，即充分性不成立；反之，若a+b≠0，也不能推出a=5或b=-5，即必要性不成立，
故“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要條件，故③錯誤；
對于④，已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正確；
對于⑤，在△ABC中，∵3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，
∴B為銳角，且A為鈍角，
由（3sinA+4cosB）²+（4sinB+3cosA）²=6²+1=37，
整理得：sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=$\frac{1}{2}$，
∴C=30°，故⑤錯誤．
其中所有真命題的個數(shù)是1個，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查充分必要條件、命題及其否定、三角函數(shù)的恒等變換及其應(yīng)用，考查分析運(yùn)算能力，屬于難題．