Question

16．已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）若A∪B=A，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)；
（3）當(dāng)x∈R時，若A∩B=∅，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件得到B⊆A，從而可討論B是否為空集，從而得出關(guān)于m的不等式或不等式組，得出m的范圍求并集即可得出實數(shù)m的取值范圍；
（2）由x∈Z即可得出集合A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，根據(jù)組合及二項式定理即可求出A的非空真子集的個數(shù)；
（3）根據(jù)A∩B=∅即可得到m+1＞5，或2m-1＜-2，從而便可得出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵A∪B=A；
∴B⊆A；
∴①B=∅時，m+1＞2m-1；
∴m＜2；
②B≠∅時，$\left\{\begin{array}{l}{m+1≤2m-1}\\{m+1≥-2}\\{2m-1≤5}\end{array}\right.$；
∴2≤m≤3；
∴實數(shù)m的取值范圍為（-∞，3]；
（2）若x∈Z，則A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}；
∴A的非空子集的個數(shù)為${{C}_{8}}^{1}+{{C}_{8}}^{2}+{{C}_{8}}^{3}+{{C}_{8}}^{4}+{{C}_{8}}^{5}+{{C}_{8}}^{6}$$+{{C}_{8}}^{7}={2}^{8}-2=254$；
（3）∵A∩B=∅；
∴m+1＞5或2m-1＜-2；
∴m＞4，或m$＜-\frac{1}{2}$；
∴實數(shù)m的取值范圍為$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（4，+∞）$．

點評 考查列舉法、描述法表示集合的定義及表示形式，并集、交集的概念及子集的概念，元素與集合的關(guān)系．