Question

12．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=f（x），且對于任意x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．若f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，2f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜1，則x的取值范圍為（　　）

• A． （0，2）
• B． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}）∪（{2，+∞}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）∪（{1，2}）$

Answer 1

分析 根據條件即可判斷出f（x）是偶函數，且在[0，+∞）上單調遞減，從而可由$f（-\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}，2f（lo{g}_{\frac{1}{8}}x）＜1$得出$f（|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|）＜f（\frac{1}{3}）$，進而得出$|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|＞\frac{1}{3}$，解該不等式即可得出x的取值范圍．

解答 解：由條件知，f（x）是偶函數，在[0，+∞）上單調遞減；
$f（-\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}，2f（lo{g}_{\frac{1}{8}}x）＜1$；
∴$f（lo{g}_{\frac{1}{8}}x）＜f（-\frac{1}{3}）$；
∴$f（|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|）＜f（\frac{1}{3}）$；
∴$|lo{g}_{\frac{1}{8}}x|＞\frac{1}{3}$；
解得$0＜x＜\frac{1}{2}$，或x＞2；
∴x的取值范圍為$（0，\frac{1}{2}）∪（2，+∞）$．
故選C．

點評 考查減函數和偶函數的定義，不等式的性質，以及對數的定義，含絕對值不等式的解法．