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5.已知函數(shù)f(x)=asinωx+bcosωx+1(a,b≠0,ω>0)的最小正周期是π.f(x)有最大值712,且f(\frac{π}{6})=\frac{5\sqrt{3}}{4}+4(1)求a,b的值
(2)若α≠kπ+β,(k∈Z),且α,β是f(x)=0的兩根,求tan(α+β)的值.

分析 (1)根據(jù)輔助角公式f(x)=\sqrt{{a}^{2}+^{2}}sin(ωx+φ)+1,f(x)有最大值7\frac{1}{2},\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=6\frac{1}{2},
f(\frac{π}{6})=\frac{5\sqrt{3}}{4}+4,a+\frac{1}{2}b=\frac{5\sqrt{3}}{4}+3,聯(lián)立求得a、b的值,
(2)根據(jù)和差化積公式改寫成cos(α+β+φ)sin(α-β)=0,α≠kπ+β,(k∈Z),sin(α-β)≠0,cos(α+β+φ)=0,求得α+β=kπ+\frac{π}{2}-φ(k∈Z),再求得tan(α+β).

解答 解:(1)f(x)=asinωx+bcosωx+1=\sqrt{{a}^{2}+^{2}}sin(ωx+φ)+1,
最小正周期是π,ω=\frac{2π}{T}=2,
f(x)有最大值7\frac{1}{2},\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=6\frac{1}{2},①
f(\frac{π}{6})=\frac{5\sqrt{3}}{4}+4,
asin\frac{π}{3}+bcos\frac{π}{3}+1=\frac{5\sqrt{3}}{4}+4,
\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b=\frac{5\sqrt{3}}{4}+3,②
聯(lián)立①②解得:a=\frac{5}{2},b=6,
∴a=\frac{5}{2},b=6,
(2)tanφ=\frac{12}{5},f(x)=6\frac{1}{2}sin(2x+φ)+1,
α,β是f(x)=0的兩根,f(α)=f(β)=0,
sin(2α+φ)-sin(2β+φ)=0.
∴cos(α+β+φ)sin(α-β)=0,
α≠kπ+β,(k∈Z),sin(α-β)≠0,
α+β=kπ+\frac{π}{2}-φ(k∈Z).
∴tan(α+β)=tan(\frac{π}{2}-φ)=\frac{sin(\frac{π}{2}-φ)}{cos(\frac{π}{2}-φ)},
tan(α+β)=\frac{cosφ}{sinφ}=\frac{1}{tanφ}=\frac{5}{12},
tan(α+β)=\frac{5}{12}

點評 本題考查輔助角公式及積化和差公式,過程復雜,屬于基礎題.

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