Question

如圖，曲線C1是以原點O為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點的橢圓的一部分．曲線C2是以O為頂點，F(xiàn)2為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的交點且∠AF2F1為鈍角，若|AF1|＝，|AF2|＝．

(1)求曲線C1和C2的方程；

(2)設點C是C2上一點，若|CF1|＝|CF2|，求△CF1F2的面積．

 

Answer 1

（1）曲線C1的方程為＋＝1(－3≤x≤)，曲線C2的方程為y2＝4x(0≤x≤)

（2）2

【解析】(1)設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝6，得a＝3．

設A(x，y)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則(x＋c)2＋y2＝()2，(x－c)2＋y2＝()2，兩式相減得xc＝．由拋物線的定義可知|AF2|＝x＋c＝，

則c＝1，x＝或x＝1，c＝．又∠AF2F1為鈍角，

則x＝1，c＝不合題意，舍去．當c＝1時，b＝2，

所以曲線C1的方程為＋＝1(－3≤x≤)，曲線C2的方程為y2＝4x(0≤x≤)．

(2)過點F1作直線l垂直于x軸，過點C作CC1⊥l于點C1，依題意知|CC1|＝|CF2|．

在Rt△CC1F1中，|CF1|＝|CF2|＝|CC1|，所以∠C1CF1＝45°，

所以∠CF1F2＝∠C1CF1＝45°．

在△CF1F2中，設|CF2|＝r，則|CF1|＝r，|F1F2|＝2．

由余弦定理得22＋(r)2－2×2×rcos45°＝r2，

解得r＝2，

所以△CF1F2的面積S△CF1F2＝|F1F2|·|CF1|sin45°＝×2×2sin45°＝2．