如圖,曲線C1是以原點O為中心,F(xiàn)1,F(xiàn)2為焦點的橢圓的一部分.曲線C2是以O為頂點,F(xiàn)2為焦點的拋物線的一部分,A是曲線C1和C2的交點且∠AF2F1為鈍角,若|AF1|=,|AF2|=
.
(1)求曲線C1和C2的方程;
(2)設點C是C2上一點,若|CF1|=|CF2|,求△CF1F2的面積.
(1)曲線C1的方程為+
=1(-3≤x≤
),曲線C2的方程為y2=4x(0≤x≤
)
(2)2
【解析】(1)設橢圓方程為+
=1(a>b>0),則2a=|AF1|+|AF2|=
+
=6,得a=3.
設A(x,y),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),則(x+c)2+y2=()2,(x-c)2+y2=(
)2,兩式相減得xc=
.由拋物線的定義可知|AF2|=x+c=
,
則c=1,x=或x=1,c=
.又∠AF2F1為鈍角,
則x=1,c=不合題意,舍去.當c=1時,b=2
,
所以曲線C1的方程為+
=1(-3≤x≤
),曲線C2的方程為y2=4x(0≤x≤
).
(2)過點F1作直線l垂直于x軸,過點C作CC1⊥l于點C1,依題意知|CC1|=|CF2|.
在Rt△CC1F1中,|CF1|=|CF2|=
|CC1|,所以∠C1CF1=45°,
所以∠CF1F2=∠C1CF1=45°.
在△CF1F2中,設|CF2|=r,則|CF1|=r,|F1F2|=2.
由余弦定理得22+(r)2-2×2×
rcos45°=r2,
解得r=2,
所以△CF1F2的面積S△CF1F2=|F1F2|·|CF1|sin45°=
×2×2
sin45°=2.
科目:高中數(shù)學 來源:2015高考數(shù)學(理)一輪配套特訓:選4-1-1相似三角形判定及性質(解析版) 題型:解答題
如圖所示,已知,在邊長為1的正方形ABCD的一邊上取一點E,使AE=AD,從AB的中點F作HF⊥EC于H.
(1)求證:FH=FA;
(2)求EH∶HC的值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015高考數(shù)學(理)一輪配套特訓:9-1隨機抽樣(解析版) 題型:填空題
一個總體中的1000個個體編號為0,1,2,…,999,并依次將其分為10個小組,組號為0,1,2,…,9,要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為10的樣本,規(guī)定若在第0組隨機抽取的號碼為x,則第k組中抽取的號碼的后兩位數(shù)為x+33k的后兩位數(shù).當x=24時,所抽取樣本的10個號碼是________,若所抽取樣本的10個號碼中有一個的后兩位數(shù)是87,則x的取值集合是________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015高考數(shù)學(理)一輪配套特訓:8-9圓錐曲線的綜合問題(解析版) 題型:解答題
橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,兩焦點F1,F(xiàn)2之間的距離為2,橢圓上第一象限內的點P滿足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面積為1.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若橢圓C的右頂點為A,直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M,N,且滿足AM⊥AN.求證:直線l過定點,并求出定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015高考數(shù)學(理)一輪配套特訓:8-9圓錐曲線的綜合問題(解析版) 題型:選擇題
若雙曲線-
=1(a>0,b>0)上不存在點P,使得右焦點F關于直線OP(O為雙曲線的中心)的對稱點在y軸上,則該雙曲線離心率的取值范圍為( )
A.(,+∞) B.[
,+∞)
C.(1,] D.(1,
)
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科目:高中數(shù)學 來源:2015高考數(shù)學(理)一輪配套特訓:8-8曲線與方程(解析版) 題型:解答題
已知點C(1,0),點A、B是⊙O:x2+y2=9上任意兩個不同的點,且滿足·
=0,設P為弦AB的中點.
(1)求點P的軌跡T的方程;
(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點:它到直線x=-1的距離恰好等于到點C的距離?若存在,求出這樣的點的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015高考數(shù)學(理)一輪配套特訓:8-8曲線與方程(解析版) 題型:選擇題
設圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內一定點,Q為圓周上任一點.線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M,則M的軌跡方程為( )
A.-
=1 B.
+
=1
C.-
=1 D.
+
=1
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科目:高中數(shù)學 來源:2015高考數(shù)學(理)一輪配套特訓:8-7拋物線(解析版) 題型:選擇題
已知F是拋物線y2=x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為( )
A. B.
C.
D.1
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科目:高中數(shù)學 來源:2015高考數(shù)學(理)一輪配套特訓:8-4直線與圓、圓與圓的位置關系(解析版) 題型:填空題
已知直線l:x-y+4=0與圓C:(x-1)2+(y-1)2=2,則圓C上各點到l距離的最小值為________,最大值為________.
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