Question

設(shè)x²+y²=2的切線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，切線l的方程為（　�。�

A．x-y-2=0

B．y-x-2=0

C．x+y-2=0

D．y±x-2=0

Answer 1

分析：設(shè)出直線方程，由直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，化簡(jiǎn)可得a與b的關(guān)系式，利用此關(guān)系式把|AB|²進(jìn)行變形，利用基本不等式求出|AB|²的最小值，且得到取最小值時(shí)a與b的值，把此時(shí)a與b的值代入所設(shè)的方程中，即可確定出切線的方程．

解答：解：設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
則切線的方程為

x

a

+

y

b

=1
∵圓x²+y²=2的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=

2

，l與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=

|-ab|

a2+b2

=

2

∴

2(a2+b2)

=ab
∴ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)
∴|AB|=

a2+b2

=

ab

2

≥2

2

∴|AB|的最小值為2

2

，此時(shí)a=b=2，切線方程為x+y-2=0．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線方程，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．